(Etl07) On définit une fonction f par :

                   ∫ π
∀a ∈ ]− π, π-[, f(a) =  tan(a sinx )dx
       2 2          0

Montrer que, en 0,

f(a) = 2a + O(a3)

Former un développement limitéà l’ordre 3 de f en 0

Corrigé
(Ctl07) Toute formule de Taylor est une formule de Taylor idiote. Par exemple

tan u = u + R(u)

oÈ1 R est le reste c’est à dire

R (u) = tanu − u.

Ce qui fait l’utilité d’une formule de Taylor c’est l’information dont on dispose sur le reste. Il n’est pas intéressant d’introduire trop tôt ce renseignement dans le contexte d’une intégrale.

      ∫ π
f(a) =   (asin x+ R (a sinx )) dx
       0                        ∫ π
                          = 2a+    R (asin x)dx
                                 0
On connait les développements limités de tan. On en déduit une information sur le reste
          3
R (u) ∈ O (u )

que l’on traduit sous une forme adaptée à l’utilisation dans l’intégrale. Il existe une fonction φ ©finie au voisinage de 0 telle que

R(u) = u3φ(u)

La fonction φ est localement bornée en 0. Il existe α > 0 et Φ > 0 tels que

                   3
|u| ≤ α ⇒ |R(u)| ≤ |u| Φ

On en déduit, en majorant l’intégrale,

        ||∫ π           ||  ∫ π
|a| ≤ α ⇒ ||  R (a sinx )dx|| ≤   |a|3(sinx )3Φ dx
          0                0                 3
                                      ≤ πΦ |a|