(Etl02) Soit I un intervalle ouvert, a I et f ∈𝒞(I). On définit τ dans I par :

      (
      { f-(x)-− f-(a)  si x ⁄= a
τ(x) = (   x − a
        f′(a)        si x = a

La fonction τ est évidemment de classe 𝒞 dans I ∖{a}. Pour un naturel n quelconque, exprimer τ(n)(x) à l’aide de la formule de Leibniz puis à l’aide d’une formule de Taylor avec reste de Lagrange. Quelle est la limite en a ? Que peut-on en déduire pour τ ?

Corrigé
(Ctl02) On peut interpréter l’expression de τ(n) en utilisant une formule de Taylor entre x et a. Avec le reste de Lagrange, on obtient qu’il existe un cx entre a et x tel que

          1
τ(n)(x) =-----f(n+1)(cx)
        n + 1

Lorsque x tend vers a, comme la fonction est 𝒞, la limite est f(n+1)(a)
  n+1. En utilisant une récurrence et le théorème de la limite de la dérivée, on peut montrer que τ est 𝒞(I).