(Etl01) Soit f ∈𝒞2() avec f et f′′ bornées. On note

M0 = sup(|f|) , M2 = sup(|f′′|)
      ℝ            ℝ

  1. Montrer que,
                          M    M
∀a > 0,∀x ∈ ℝ, |f′(x)| ≤ --0+ --2a
                       a    2

    On pourra utiliser deux fois une formule de Taylor (quel reste ?) à l’ordre 2 en considérant les points x, x a, x + a.

  2. En déduire que fest bornée et que
         ∘ -------               ′
M1 ≤   2M0M2  avec M1 = supℝ (|f|).

  3. On définit une fonction f dans [2,+[ par :
           (    x2
       ||{ 1− --     si x ∈ [− 2,0]
f(x) =       22               .
       ||( -2+-x---      si x > 0
         2(1 + x2)

    Montrer que f est 𝒞2 et calculer M0, M1, M2. Que peut-on en conclure pour l’inégalité du b. ?