(Esc08) Théorème de Césaro.
Soit (xn)n une suite de réels et (yn)n définie par :

∀n ∈ ℕ ∗, yn = x1 +-x2-+⋅⋅⋅+-xn.
                     n

  1. Montrer que si (xn)n converge vers 0 alors (yn)n converge vers 0.
  2. Montrer que si (xn)n diverge vers +alors (yn)n diverge vers +.
  3. Montrer que (xn)n croissante entraine (yn)n croissante.
  4. Montrer que si (xn)n converge, alors (yn)n converge et vers la même limite.
  5. On suppose que (xn+1 xn)n converge vers un réel l. Montrer que (xn
n)n converge vers l.
  6. Soit (un)n une suite de réels strictement positifs telle que (u
nu+n1-)n converge vers l > 0.
    Montrer que (un1n)n converge vers l. Montrer que la réciproque est fausse en considérant une suite (un)n telle que
          2p         2p+1-
u2p = 3p, u2p+1 = 3p  .

  7. Déterminer les limites des suites
     (2n )1n        (1× 3× ⋅⋅⋅× (2n− 1))1n
(  n    )n∈ℕ∗, (----------n----------)n∈ℕ∗
                     1
     ((n-(n-+-1)⋅⋅⋅(2n))n)n∈ℕ∗,  (n(n!)− 1n)n∈ℕ∗
          (  n               )
           (xn1 + xn2 + ⋅⋅⋅+ xnp)1n     avec les xi > 0
                               n∈ ℕ

Corrigé
(Csc08)

  1. Supposons d’abord xn 0 pour tous les n.
    Une inégalitéà la Cesaro est obtenue en coupant arbitrairement une somme .
    Soit m , pour tout n m :
    0 ≤ yn = 1(x1 + ⋅⋅⋅+ xm)+ 1-(xm+1 + ⋅⋅⋅+ xn)
         n               n
     ≤ -1(x1 + ⋅⋅⋅+ xm )+ n-−-m-max(xm+1,⋅⋅⋅ ,xn).
       n                  n
    Il est important de comprendre que l’on ne peut pas conclure que la suite converge vers 0 en utilisant les théorèmes habituels (encadrement ou passage à la limite dans une inégalité). Il est impératif d’utiliser la définition de la convergence et des justifications soigneusement ordonnées.
    Pour tout 𝜀 > 0.

    Comme n−m-
 n 1, l’inégalité de Cesaro conduit à

                     𝜀   𝜀
n ≥ N 𝜀 ⇒ 0 ≤ yn ≤ 2 + 2 = 𝜀

    ce qui permet de conclure.
    Pour une suite qui n’est pas positive, on applique le résultat que l’on vient de montrer à la suite des valeurs absolues et on conclut par encadrement avec

         |x1|+-⋅⋅⋅+-|xn|
|yn| ≤      n       .

  2. Dans le cas oÃ1(x˙n)˙n+, on écrit une autre inégalitéà la Cesaro :
        x1-+-⋅⋅⋅+-xm-   n−-m--
yn ≥      n     +    n  min(xm+1, ⋅⋅⋅xn).

    Soit A un réel quelconque.

    L’inégalité de Cesaro conduit à

    n ≥ max (NA, m )
                    ⇒  yn ≥ n-−-m-2A ≥ 1 2A = A.
                             m        2
    ce qui permet de conclure.
  3. Pour montrer la croissance, considérons yn+1 yn en supposant (xn)n croissante.
    y    − y = (--1--− -1)(x  + ⋅⋅⋅+ x )+  -1--x
 n+1    n   n + 1  n   1        n    n+ 1 n+1
          ---1----              --1--
       = −n(n + 1)(x◟1-+-⋅⋅◝⋅◜+-xn◞)+ n + 1xn+1
                      ≤nxn
                                ≥ xn+1 −-xn-≥ 0.
                                    n +1
  4. Si (xn)n x, appliquons le résultat de a. à la suite (xn − x )n qui converge vers 0. Or
    (x1 −-x)+-⋅⋅⋅+-(xn −-x) = x1 +-⋅⋅⋅+-xn − x.
          n                  n

    Donc,

    (                     )
 (x1 −-x)-+-⋅⋅⋅+-(xn −-x)    → 0
           n           (n∈ℕ∗        )
                         x1 +-⋅⋅⋅+xn
                     ⇒       n       n∈ℕ∗ → x.
  5. On applique le résultat de la question d. à la suite (xn+1 − xn )n.
  6. On applique le résultat de la question e. à la suite (lnun)n car
    un+1→  l > 0 ⇒ ln u  − lnu  → lnl
 un              n+1     n

    (continuité de ln). On termine avec la continuité de exp :

                 1
1lnun → l ⇒ unn → el.
n

    Contre exemple de l’énoncé pour la réciproque :
    La suite un1
n converge car

     1-  ∘ --    -1-   ∘ --       ∘ --
u22pp =  2  et u22pp++11 = 22 2p1+1 →   2
       3             3          3

    mais

    u2p+1
-u2p- = 2 → 2.

  7. Toutes les suites sont de la forme un1
n. On utilise systématiquement le résultat de la question f. en présentant les résultats dans un tableau




    un unu+n1 limite



    (2nn) 22nn++11- 4



    1-3 ⋅⋅⋅ (2n−-1)
      nn 2n+1
n+1(-n-
n+1)n 2
e



    n-(n+-1) ⋅⋅⋅ (2n)
       nn22n+1-
 n(-n-
n+1)n+1 4
e



     n
n--
n! (n+n1)n e