(Esc08) Théorème de Césaro.
Soit (xn)n une suite de réels et (yn)n définie par :

∀n ∈ ℕ ∗, yn = x1 +-x2-+⋅⋅⋅+-xn.
                     n

  1. Montrer que si (xn)n converge vers 0 alors (yn)n converge vers 0.
  2. Montrer que si (xn)n diverge vers +alors (yn)n diverge vers +.
  3. Montrer que (xn)n croissante entraine (yn)n croissante.
  4. Montrer que si (xn)n converge, alors (yn)n converge et vers la même limite.
  5. On suppose que (xn+1 xn)n converge vers un réel l. Montrer que (xn
n-)n converge vers l.
  6. Soit (un)n une suite de réels strictement positifs telle que (unu+n1-)n converge vers l > 0.
    Montrer que (un1n)n converge vers l. Montrer que la réciproque est fausse en considérant une suite (un)n telle que
          2p         2p+1
u2p = 3p, u2p+1 =-3p--.

  7. Déterminer les limites des suites
     (2n )1n        (1× 3× ⋅⋅⋅× (2n− 1))1n
(       )n∈ℕ∗, (---------------------)n∈ℕ∗
   n                 1   n
     ((n-(n-+-1)⋅⋅⋅(2n))n)   ∗,  (n(n!)− 1n)   ∗
          (  n         n∈ℕ   )         n∈ℕ
           (xn+ xn + ⋅⋅⋅+ xn)1n      avec les xi > 0
             1   2        p    n∈ ℕ