(Eli01) Soit f définie sur [0,+ ∞[ et bornée sur tout intervalle de longueur 1, soit g et ϕ ©finis par

∀x ≥ 0, g(x ) = f(x+ 1)− f(x); ∀x > 0, ϕ (x) = f(x)
                                           x

On suppose g +∞
−−→, montrer que ϕ+∞
−−→.
Donner un exemple de fonction montrant que l’hypothèse « bornée sur les intervalles de longueur 1 »  est indispensable.

Corrigé
(Cli01) On se ramène au cas l = 0 en considérant f l. On suppose donc l = 0.
On forme une inégalité « à la Césaro »  en introduisant un y arbitraire. Pour tout x > y,

f(x) = (f(x)− f(x− 1))+ (f(x − 1)− f(x− 2))
       + ⋅⋅⋅+(f(x − (n − 1)) − f (x − n))+ f(x− n)
avec
x − n− 1 < y ≤ x − n ⇒ n = ⌊x − y⌋

On en déduit

|f(x)| ≤ n[syu,+p∞ [|g|+ |f(x − n)|

De plus, n x et

y ≤ x − n < y + 1 ⇒ x− n ∈ [y,y+ 1]

          ⇒  |f(x− n)| ≤ My = [ysu,yp+1]|f|

                    ⇒ 0 ≤ |ϕ (x)| ≤ sup |g|+ My-
                                 [y,+∞ [     x
On peut alors traiter un 𝜀 > 0 quelconque exactement comme dans l’exercice sur la convergence de Cesaro en fixant d’abord un bon y pour que sup[y,+[|g|≤𝜀
2.
Considérons la fonction 1-périodique f ©finie par
∀x ∈ [0,1[, f(x) = -1---
                 1− x

Comme f est 1-périodique, g est identiquement nulle donc converge vers 0 en +. Mais en posant

      ∗             1-
∀n ∈ ℕ , xn = n+ 1 − n

on forme une suite qui diverge vers +et telle que

                   n
f(xn ) = n ⇒ ϕ(xn) = xn-⇒ (ϕ(xn ))n∈ℕ∗ → 1