(Eis06) Soit f continue sur [a,b]. Montrer que

|∫   |  ∫
||  b ||    b
|| a f|| < a |f|

si f n’est pas de signe constant.

Corrigé
(Cis06) Supposons que l’intégrale soit positive et que la fonction ne soit pas de signe constant. Il existe alors c [a,b] tel que f(c) < 0. Par continuité en c, il existe α < β dans [a,b] tels que f < 0 dans [α,β]. Écrivons alors :

|    |
||∫ b ||  ∫ b    ∫ α   ∫ β    ∫ b
||   f|| =   f =    f +    f+    f
  a      a      a    ◟α◝◜◞   β
           ∫      ∫    <0∫       ∫
         <   αf +  b f ≤  α |f|+   b|f|
            a      β     a       β
                   ∫ α     ∫ β   ∫ α     ∫ b
                 <    |f|+    |f|   |f | =   |f|
                    a       α     a       a
Si abf < 0, on considère f.