(Efc09)

  1. Soit a, b, c trois réels strictement positifs et λ [0,1[. On suppose que
    ∀x > 0, eax ≤ λebx +(1 − λ )ecx

    Montrer que a λb + (1 λ)c.

  2. Soit f une fonction définie dans un intervalle I et à valeurs strictement positives. Montrer que
             α
(∀α > 0, f  convexe ) ⇒ ln∘f convexe

Corrigé
(Cfc09)

  1. On écrit des développements limités pour x en 0 à l’ordre 1. Un 1 se simplifie, on divise par x > 0 et on termine par un passage à la limite dans une inégalité.
  2. On écrit l’inégalité de convexité pour fα avec u, v et λ. On utilise le a. avec α dans le rôle de x, ln(f(λu + (1 λ)v) dans celui de a, ln(f(u)) dans celui de b et ln(f(v)) dans celui de c.