(Eee17) On veut montrer que, pour k entre 1 et un entier p > 1 fixé, les fonctions

   {
     ℝ →  ℝ
sk :  t ↦→ sin(kt)

forment une famille libre dans l’espace 𝒞([0,π
2]).

  1. Calculer
    ∫ π
   sin(it)sin(jt)dt
 0

    En déduire que la famille des fonctions définies dans [0] est libre.

  2. Soit λ1,⋅⋅⋅p des nombres complexes. Montrer que si la fonction
    t → λ1 sint+ λ2sin(2t)+ ⋅⋅⋅+ λpsin(pt)

    s’annule strictement plus de 2p fois alors les λi sont tous nuls. Que peut-on en déduire relativement à des restrictions des fonctions considé©es ?

Corrigé
(Cee17)

  1. Il s’agit d’un calcul classique à savoir faire très rapidement. En linéarisant, on trouve que l’intégrale est nulle pour ij et égale à π
2 si i = j. On en déduit que la famille est orthogonale pour le produit scalaire habituel définie par l’intégrale du produit. Comme elle est constituée de fonctions non nulle, cette famille est libre.
  2. Écrivons chaque sin avec une exponentielle.
    sin (kt) = 1-((eit)k − (eit)−k)
         2i

    En factorisant par eikt, on peut écrire la somme de sin sous la forme

    eiktP (eit)

    oÈ1 P est un polynôme à coefficients complexes (et s’exprimant simplement en fonction des λk) de degré 2p. Lorsque ce polynôme admet strictement plus de 2p racines, tous ses coefficients sont nuls donc les λk sont tous nuls.
    On en déduit que la famille des restrictions à un intervalle non réduit à un point est libre. En effet un tel intervalle contient une infinité de points.